Question

Даю 35 баллов и 5 звезд!Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f на указанном отрезке:
​

Answer 1

$\displaystyle f(x)=2\sin 2x+\cos 4x,\quad \bigg[0;\frac{\pi }3 \bigg]\\\\f'(x)=2\cos (2x)\cdot (2x)'-\sin (4x)\cdot (4x)'=\\\\=4(\cos 2x-\sin 4x)=4\cos (2x) (1-2\sin 2x) =\\\\=-8\cos (2x)\bigg(\sin 2x -\frac12 \bigg)$

$\displaystyle f'(x)=0\\\\\begin{bmatrix}\displaystyle \cos 2x=0\\\displaystyle \sin 2x=\dfrac12\end{matrix} \quad \begin{bmatrix}2x=\dfrac{\pi}2+\pi n\qquad \quad \\\displaystyle 2x=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}6+\pi k\end{matrix} \, n,\! k\in \mathbb{Z}\\\\ \begin{bmatrix}x=\dfrac{\pi}4+\dfrac{\pi n}2\qquad \quad \\\displaystyle x=(-1)^k\cdot \dfrac{\pi}{12}+\dfrac{\pi k}2\end{matrix} \, n,\! k\in \mathbb{Z}$

На координатной прямой разберёмся с промежутками монотонности функции на указанном отрезке.

Наибольшее значение $f\bigg(\dfrac{\pi}{12}\bigg)$ или $f\bigg(\dfrac{\pi}3 \bigg)$.

$\displaystyle f\bigg( \dfrac{\pi}{12} \bigg) =2\sin \dfrac{2\pi }{12} +\cos \dfrac{4\pi }{12} =2\cdot \dfrac12 +\dfrac12 =1,\! 5\\\\f\bigg( \dfrac{\pi}{3} \bigg) =2\sin \dfrac{2\pi }{3} +\cos \dfrac{4\pi }{3} =2\cdot \dfrac{\sqrt3}2 -\dfrac12 =\\\\=\sqrt3 -0,\! 5<1,\! 8-0,\! 5<1,\! 5$

f(наиб.) = 1,5

Наименьшее значение $f(0)$ или $f\bigg(\dfrac{\pi}4 \bigg)$.

$\displaystyle f(0) =2\sin 0 +\cos 0 =1\\\\f\bigg( \dfrac{\pi}{4} \bigg) =2\sin \dfrac{2\pi }{4} +\cos \dfrac{4\pi }{4} =2-1=1$

f(наим.) = 1

Ответ: 1 и 1,5.