Question

Решить дифференциальное уравнение, которое допускает понижение порядка

Answer 1

$xy''=y'\ln\dfrac{y'}{x}$

Замена:

$y'=p$

$\Rightarrow y''=p'$

Получим уравнение:

$xp'=p\ln\dfrac{p}{x}$

$p'=\dfrac{p}{x} \ln\dfrac{p}{x}$

Замена:

$\dfrac{p}{x}=t$

$\Rightarrow p=tx$

$\Rightarrow p'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$t'x+t=t \ln t$

$t'x=t \ln t-t$

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} =t \ln t-t$

$\dfrac{dt}{t \ln t-t} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{t \ln t-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{t( \ln t-1)} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{d(\ln t)}{ \ln t-1} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{d(\ln t-1)}{ \ln t-1} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\ln|\ln t-1| =\ln|x|+\ln C$

$\ln|\ln t-1| =\ln Cx$

$\ln t-1 =Cx$

Обратная замена:

$\ln \dfrac{p}{x}-1 =Cx$

$\ln p-\ln x-1 =Cx$

$\ln p=\ln x+1+Cx$

$p=e^{\ln x+1+Cx}$

$p=xe^{1+Cx}$

Обратная замена:

$y'=xe^{1+Cx}$

$\dfrac{dy}{dx} =xe^{1+Cx}$

$dy =xe^{1+Cx}dx$

$\int dy =\int xe^{1+Cx}dx$

Найдем интеграл правой части по частям:

$\int udv=uv-\int vdu$

$\int xe^{1+Cx}dx=\left<\begin{array}{l}u=x; \ du=dx\\dv=e^{1+Cx}dx;\ v=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx} \end{array}\right>=$

$=x\cdot\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}-\int\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}dx=\dfrac{x}{C}e^{1+Cx}-\dfrac{1}{C}\cdot\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}+C_2=$

$=\dfrac{x}{C}e^{1+Cx}-\dfrac{1}{C^2}e^{1+Cx}+C_2=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}\left(x-\dfrac{1}{C}\right)+C_2$

Значит:

$y=\dfrac{1}{C}e^{1+Cx}\left(x-\dfrac{1}{C}\right)+C_2$