Question

ПОМОГИТЕ!!!
Как доказать: если m - корень возвратного уравнения 4-ой степени (в общем виде), то и 1/m корень этого же уравнения

Answer 1

$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=p(x)$
Дано: $p(m)=0$ ⇒ $am^4+bm^3+cm^2+dm+e=0$
$am^4+bm^3+cm^2+dm+e=0/*frac{1}{m^2}$ ⇒ $am^2+bm+c+frac{d}{m}+frac{e}{m^2}=0$
$(am^2+frac{e}{m^2})+(bm+frac{d}{m})+c=0$
$(am^2+frac{e}{m^2})=(efrac{1}{m^2}+frac{a}{frac{1}{m^2}}),(bm+frac{d}{m})=(dfrac{1}{m}+frac{b}{frac{1}{m}})$ ⇒
$(am^2+frac{e}{m^2})+(bm+frac{d}{m})+c=(efrac{1}{m^2}+frac{a}{frac{1}{m^2}})+(dfrac{1}{m}+frac{b}{frac{1}{m}}) +c$
Известно, что: $(am^2+frac{e}{m^2})+(bm+frac{d}{m})+c=0$
Транзитивно:
$(efrac{1}{m^2}+frac{a}{frac{1}{m^2}})+(dfrac{1}{m}+frac{b}{frac{1}{m}}) +c=0$ ⇒ 
$efrac{1}{m}^4+dfrac{1}{m}^3+cfrac{1}{m}^2+bfrac{1}{m}+a=0$
Доказано.

P.S. Важный аспект: имеем право домножить на $frac{1}{m^2}$ потому, что $mneq 0$. Вывод следует из неоднородности многочлена. При $m=0, p(m)=0=>e=0$