Question

помогите пожалуйста с решением работы по алгебре
11 класс
много баллов!

1) найти dz/dx и dz/dy , если z=y^xy

2) найти dz/dx и dz/dy , если z=sin u^5/v^3 , где u= корень x-y , v=e^2x

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

1) z = y^(xy)

dz/dx = y^(xy)*ln |y|*y

dz/dy = (xy)*y^(xy-1) + y^(xy)*ln |y|*x = y^(xy)*(xy*1/y + x*ln |y|) =

= y^(xy)*x*(1 + ln |y|)

2) z = sin(u^5)/v^3; u = √(x-y); v = e^(2x)

Сначала напишем промежуточные дифференциалы:

dz/du = 1/v^3*cos(u^5)*5u^4 = 5u^4/v^3*cos(u^5)

dz/dv = sin(u^5)*(-3)*v^(-4) = -3/v^4*sin(u^5)

du/dx = 1/(2√(x-y))

du/dy = -1/(2√(x-y))

dv/dx = 2e^(2x)

dv/dy = 0

Теперь пишем главные дифференциалы:

dz/dx = (dz/du)*(du/dx) + (dz/dv)*(dv/dx) =

= 5u^4/v^3*cos(u^5)*1/(2√(x-y)) - 3/v^4*sin(u^5)*2e^(2x) =

= 2,5u^4/v^3*cos(u^5)*1/√(x-y) - 6/v^4*sin(u^5)*e^(2x)

dz/dy = (dz/du)*(du/dy) + (dz/dv)*(dv/dy) =

= 5u^4/v^3*cos(u^5)*[-1/(2√(x-y))] - 3/v^4*sin(u^5)*0 =

= -2,5u^4/v^3*cos(u^5)*1/√(x-y)

Answer 2

Ответ:

Следует отметить, что когда вычисляется частная производная от функции многих переменных по некоторой переменной, то остальные переменные рассматриваются как константы.

1) Дана сложная функция двух переменных

$\displaystyle \tt z(x, y)=y^{x \cdot y}.$

Находим частные производные.

Так как переменная х участвует только в показателе функции z(x, y), то частную производную по х находим как от показательной функции с основанием y, в показателе которой сложная функция:

$\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial x} = \frac{ \partial (y^{x \cdot y})}{ \partial x} = y^{x \cdot y} \cdot ln|y| \cdot \frac{ \partial (x \cdot y)}{ \partial x} = y^{x \cdot y} \cdot ln|y| \cdot y = y^{x \cdot y+1} \cdot ln|y|.$

Ответ: $\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial x} = y^{x \cdot y+1} \cdot ln|y|.$

Для нахождения частную производную по у поступим следующим образом.

а) Логарифмируем по основанию e обе стороны выражения $\displaystyle \tt z(x, y)=y^{x \cdot y}$:

$\displaystyle \tt ln \; z(x, y)=ln |y^{x \cdot y}|=x \cdot y \cdot ln|y|.$

б) Находим частную производную по у от левой части последнего выражения:

$\displaystyle \tt \frac{ \partial ln \; z(x,y)}{ \partial y} = \frac{1}{z(x,y)} \cdot \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial y}.$

Находим частную производную по у от правой части последнего выражения как производная от произведения:

$\displaystyle \tt \frac{ \partial (x \cdot y \cdot ln|y|)}{ \partial y} = \frac{ \partial (x \cdot y)}{ \partial y} \cdot ln|y|+x \cdot y \cdot \frac{ \partial (ln|y|)}{ \partial y}=x \cdot ln|y| + x \cdot y \cdot \frac{1}{y} =x \cdot ln|y| + x.$

в) Имеем:

$\displaystyle \tt \frac{1}{z(x,y)} \cdot \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial y} =x \cdot ln|y| + x$

или

$\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial y} =(x \cdot ln|y| + x) \cdot z(x,y)=(x \cdot ln|y| + x) \cdot y^{x \cdot y}=x \cdot (ln|y| + 1) \cdot y^{x \cdot y}.$

Ответ: $\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial y} =x \cdot (ln|y| + 1) \cdot y^{x \cdot y}.$

2) Дана сложная функция двух переменных

$\displaystyle \tt z(x, y)=sin\frac{u^5}{v^3} = sin\frac{(\sqrt{x-y} )^5}{(e^{2 \cdot x})^3}=sin\left ((x-y )^{2,5} \cdot e^{-6 \cdot x} \right ).$

Находим частные производные как от сложной функции.

Частная производная по х:

$\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial x} = \frac{ \partial }{ \partial x} sin\left ((x-y )^{2,5} \cdot e^{-6 \cdot x} \right )= \\\\=cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} \left ((x-y )^{2,5} \cdot e^{-6 \cdot x} \right ) = \\\\= cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot (\frac{ \partial }{ \partial x} \left ((x-y )^{2,5} \right ) \cdot e^{-6 \cdot x} + (x-y )^{2,5} \cdot \frac{ \partial }{ \partial x} \left (e^{-6 \cdot x} \right ) \right )=$

$\displaystyle \tt = cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot (2,5 \cdot (x-y)^{1,5} \cdot e^{-6 \cdot x} + (x-y )^{2,5} \cdot (-6) \cdot e^{-6 \cdot x} ) =\\\\= \frac{(x-y )^{1,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot (2,5-6\cdot (x-y)).$

Ответ: $\displaystyle \tt \displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial x} = \frac{(x-y )^{1,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot (2,5-6\cdot (x-y)).$

Частная производная по у:

$\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial y} = \frac{ \partial }{ \partial y} sin\left ((x-y )^{2,5} \cdot e^{-6 \cdot x} \right )= \\\\= cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} \left ((x-y )^{2,5} \cdot e^{-6 \cdot x} \right ) = \\\\=e^{-6 \cdot x} \cdot cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot \frac{ \partial }{ \partial y} \left ((x-y )^{2,5} \right ) =$

$\displaystyle \tt =e^{-6 \cdot x} \cdot cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} \cdot 2,5 \cdot (x-y )^{1,5} \cdot (-1)=\\\\=-2,5 \cdot e^{-6 \cdot x} \cdot(x-y )^{1,5} \cdot cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} .$

Ответ: $\displaystyle \tt \frac{ \partial z(x,y)}{ \partial y} =-2,5 \cdot e^{-6 \cdot x} \cdot(x-y )^{1,5} \cdot cos\frac{(x-y )^{2,5}}{e^{6 \cdot x}} .$