Question

4. Решите задачу
Двое трактористов, работая вместе, могут вспахать поле за 4 дня. Если первый тракторист вспашет 1/3 поля, а затем его заменит второй, то всё поле будет вспахано за 10 дней. За сколько дней может вспахать поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первый работает медленнее?
дайте решение

Answer 1

x дней понадобится первому трактористу

y дней понадобится второму трактористу

$\frac1x$ - производительность первого

$\frac1y$ - производительность второго

$\frac1x+\frac1y=\frac{x+y}{xy}$ - совместная производительность

Работая вместе, могут вспахать поле за 4 дня, то есть

$4\cdot\frac{x+y}{xy}=1\;\;\;\;\;(1)$

Первый вспашет $\frac13$ поля за $\frac13:\frac1x=\frac x3$ дней, второй оставшиеся $\frac23$ поля за $\frac23:\frac1y=\frac{2y}3$ дней. Всего затратят 10 дней, то есть

$\frac x3+\frac{2y}3=10\;\;\;\;\;(2)$

Составим и решим систему уравнений (1) и (2):

$\begin{cases}4\cdot\frac{x+y}{xy}=1\\\frac x3+\frac{2y}3=10\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\frac{30-2y+y}{(30-2y)y}=\frac14\\ x=30-2y\end{cases}\\\\\\\frac{30-2y+y}{(30-2y)y}=\frac14\\\\\frac{30-y}{30y-2y^2}=\frac14\\\\120-4y=30y-2y^2\\2y^2-34y+120=0\;\;\;\;\div2\\y^2-17y+60=0\\D=(-17)^2-4\cdot1\cdot60=289-240=49\\y_{1,2}=\frac{17\pm7}2\\y_1=5,\;y_2=12\\\\\\\begin{cases}x=20\\y=5\end{cases}\;\;\;\;\;\;u\;\;\;\;\;\;\begin{cases}x=6\\y=12\end{cases}$