Question

Найти среднее арифметическое корней уравнения (в градусах)

sinx+sin2x+sin3x=cosx+cos2x+cos3x на промежутке [0, 180]

Answer 1

 Группируем
$(sinx+sin3x)+sin2x=(cosx+cos3x)+cos2x\\2sin2xcosx+sin2x-2cos2xcosx-cos2x=0\\sin2x(1+2cosx)-cos2x(1+2cosx)=0\\(1+2cosx)(sin2x-cos2x)=0\\1); 1+2cosx=0; ,; cosx=-frac{1}{2}; , x=pmfrac{2pi}{3}+2pi n,nin Z\\a); 0 leq frac{2pi}{3}+2pi n leq pi ,; -frac{2}{3} leq 2n leq 1-frac{2}{3},; ; -frac{1}{3} leq n leq frac{1}{6}\\celoe; ; n=0; to ; x=frac{2pi}{3}\\b); 0 leq -frac{2pi}{3}+2pi n leq pi$ 
 $frac{2}{3} leq 2n leq 1+frac{2}{3}; ,; frac{1}{3} leq n leq frac{5}{6}$
 В этом промежутке нет целого значения n.
 $2) ; sin2x-cos2x=0; ,; ; sin2x-sin(frac{pi}{2}-2x)=0\\2sin(2x-frac{pi}{4})cosfrac{pi}{4}=0; ,; 2frac{sqrt2}{2}cdot sin(2x-frac{pi}{4})=0\\2x-frac{pi}{4}=pi k,x=frac{pi}{8}+frac{pi k}{2}\\0 leq frac{pi}{8}+frac{pi k}{2} leq pi ; ,; -frac{pi}{8} leq frac{pi k}{2} leq pi -frac{pi}{8}; ,; -frac{1}{4} leq k leq frac{7}{4}\\celoe; ; k=0; to ; x=frac{pi}{8}; ,; ; \\k=1; to ; ; x=frac{pi}{8}+frac{pi}{2}=frac{5pi}{8}$
 Среднее арифметическое корней:

$frac{1}{3}(frac{pi}{8}+frac{5pi}{8}+frac{2pi}{3})=frac{1}{3}cdot frac{17pi }{12}=frac{17pi}{36}$