Question

срочно помогите пожалуйста решить. даю 35 баллов!!

Answer 1

$1)\; \; y=x^2-2\; \; ,\; \; y=2x+2\\\\x^2-2=2x+2\; \; ,\; \; x^2-2x-4=0\; ,\; D/4=5\; \; ,\; \; x_{1,2}=1\pm \sqrt5\\\\S=\int\limits^{1+\sqrt5}_{1-\sqrt5}\, (2x+2-x^2+2)\, dx=\int\limits^{1+\sqrt5}_{1-\sqrt5}\, (2x+4-x^2)\, dx=\\\\\\=\Big(x^2+4x-\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_{1-\sqrt5}^{1+\sqrt5}=(1+\sqrt5)^2+4(1+\sqrt5)-\frac{1}{3}(1+\sqrt5)^3-(1-\sqrt5)^2-\\\\-4(1-\sqrt5)+\frac{1}{3}(1-\sqrt5)^3=12\sqrt5-\frac{16}{3}\, \sqrt5=\frac{20}{3}\, \sqrt5$

$2)\; \; y=x^2-4x\; \; ,\; \; x-y+4=0\; \; \to \; \; y=x+4\\\\x^2-4x=x+4\; \; ,\; \; x^2-3x-4=0\; \; ,\; \; x_1=-1\; ,\; x_2=4\\\\S=\int\limits^4_{-1}\, (x+4-x^2+4x)\, dx=\int\limits^4_{-1}\, (-x^2+5x+4)\, dx=\Big(-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}+4x\Big)\Big|_{-1}^4=\\\\=-\frac{64}{3}+40+16-\frac{1}{3}-\frac{5}{2}+4=\frac{215}{6}$

$3)\; \; y=sinx\; \; ,\; \; x\in [\, 0;\pi \, ]\\\\S=\int\limits^{\pi }_0\, sinx\, dx=-cosx\Big|_0^{\pi }=-cos\pi +cos0=1+1=2\\\\\\4)\; \; y=4x-x^2\; \; ,\; \; x\in [\, 0;4\, ]\\\\S=\int\limits^4_0\, (4x-x^2)\, dx=\Big(2x^2-\frac{x^3}{3}\Big)\Big|_0^4=32-\frac{64}{3}=\frac{32}{3}$