Question

Докажите тождество 4cosαcos(60-α)cos(60+α)=cos3α
​

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

4cos a*cos(60-a)*cos(60+a) = cos 3a

Преобразуем сначала левую часть.

Есть формула произведения косинусов:

cos x*cos y = 1/2*(cos(x+y) + cos(x-y))

В нашем случае:

cos(60+a)*cos(60-a) = 1/2*(cos(60+a+60-a) + cos(60+a-60+a)) =

= 1/2*(cos 120 + cos 2a) = 1/2*(-1/2 + cos 2a)

Подставляем в наше выражение.

4cos a*1/2*(-1/2 + cos 2a) = 2cos a*(-1/2 + cos 2a) = cos a*(2cos 2a - 1)

Теперь преобразуем правую часть.

Есть формула косинуса суммы:

cos(x+y) = cos x*cos y - sin x*sin y

И формула косинуса двойного угла:

cos 2a = cos^2 a - sin^2 a = 1 - 2sin^2 a

В нашем случае:

cos 3a = cos(2a + a) = cos 2a*cos a - sin 2a*sin a =

= cos a*cos 2a - 2sin a*cos a*sin a = cos a*(cos 2a - 2sin^2 a) =

= cos a*(cos 2a + cos 2a - 1) = cos a*(2cos 2a - 1)

Левая и правая части равны одному и тому же выражению:

4cos a*cos(60+a)*cos(60-a) = cos a*(2cos 2a - 1)

cos 3a = cos a*(2cos 2a - 1)

Значит, они равны друг другу:

4cos a*cos(60-a)*cos(60+a) = cos 3a

Что и требовалось доказать.