Question

Помогите решить неравенство,пожалуйста.

Answer 1

$3x^2\cdot 5^{x-1}\ge 3;\ x^2\cdot 5^{x-1}\ge 1.$

Рассмотрим несколько промежутков.

Если $x\in [0,1)\Rightarrow x^2<1; 5^{x-1}<1\Rightarrow x^2\cdot 5^{x-1}<1,$ то есть этот промежуток нам не подходит.

Если $x\in [1,+\infty)\Rightarrow x^2\ge 1, 5^{x-1}\ge 1\Rightarrow x^2\cdot 5^{x-1}\ge 1,$ то есть этот промежуток нам подходит.

Пусть $x\in (-\infty,0).$  Этот промежуток самый сложный, поскольку на нем функция $y=x^2$ убывает, а функция $y=5^{x-1}$ возрастает. Применим математический анализ для исследования.

$y=x^2\cdot 5^{x-1}; y'=2x\cdot 5^{x-1}+x^2\cdot 5^{x-1}\cdot \ln 5=x\cdot 5^{x-1}(2+x\cdot \ln 5).$

Приравниваем производную к нулю для нахождения точек экстремума.

На нашем промежутке находится точка $x=-\frac{2}{\ln 5}=-2\log_5 e.$

Слева от этой точки производная положительна (не забывайте про x в начале, который на нашем промежутке отрицательный), справа отрицательна. Следовательно, это точка максимума. Найдем значение функции в этой точке:

$\frac{4}{\ln^25} \cdot 5^{-2\log_5e-1}}=\frac{4}{5\ln^25}\cdot (5^{\log_5e})^{-2}=\frac{4}{5\ln^25}\cdot e^{-2}=\frac{4}{5\ln^2 5\cdot e^2}.$

Поскольку $\ln 5>\ln e=1,\ e>2\Rightarrow \frac{4}{5\ln^2 5\cdot e^2}<\frac{4}{5\cdot 1^2\cdot 2^2}=\frac{1}{5}<1\Rightarrow$

на этом участке функция меньше 1, то есть этот участок нам не подходит.

Ответ: $[1,+\infty)$