Question

помогите решить определенные интегралы методом непосредственного интегрирования

Answer 1

$2)\; \; \int\limits^{e}_1\, \dfrac{dx}{5x-1}=\dfrac{1}{5}\, ln|5x-1|\Big|_1^{e}=\dfrac{1}{5}\, (ln(5e-1)-ln4)\\\\\\3)\; \; \int\limits^{\pi /2}_0sin^3x\cdot \underbrace {cosx\, dx}_{d(sinx)}=\dfrac{sin^4x}{4}\Big|_0^{\pi /2}=\dfrac{1}{4}\, (sin^4\dfrac{\pi}{2}-sin^40)=\dfrac{1}{4}(1-0)=\dfrac{1}{4}$

$4)\; \; \int\limits^{\sqrt3/3}_0\, \dfrac{arctgx}{1+x^2}\, dx=\dfrac{arctg^2x}{2}\Big|_0^{\sqrt3/3}=\dfrac{1}{2}\, (arctg^2\dfrac{\sqrt3}{3}-arctg^20)=\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{\pi^2}{6^2}=\dfrac{\pi ^2}{72}$