Question

Задание 13.Профильная математика.
Решить уравнение:
√2-х + √-х-1 = √-5х-7
перед выражениями стоят корни и эти корни идут до конца выражения,то есть √2-х и корень идёт до икса,и так со всеми тремя выражениями.

Answer 1

ОДЗ:

    $\displaystyle \begin{cases} 2-x \geq 0 \\ -x-1 \geq 0 \\ -5x-7 \geq 0 \end{cases} ; \;\;\;\;\; \begin{cases} x \leq 2 \\ x \leq -1 \\ x \leq -\frac{7}{5} \end{cases}; \;\;\;\;\; x \leq \dfrac{7}{5}$

Решаем уравнение:

    $\displaystyle \sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1}=\sqrt{-5x-7} \\\\\Big(\sqrt{2-x}+\sqrt{-x-1}\Big)^2=\Big(\sqrt{-5x-7}\Big)^2\\\\(2-x)+2\,\sqrt{2-x}\,\sqrt{-x-1} + (-x-1) =-5x-7 \\\\2 \, \sqrt{2-x} \, \sqrt{-x-1} =-3x-8 \;\;\; (!) \\\\\Big(2 \, \sqrt{2-x} \, \sqrt{-x-1}\Big)^2 =\Big(-3x-8\Big)^2 \\\\4 \, (2-x) \, (-x-1) = (3x+8)^2 \\\\4x^2-4x-8 = 9x^2+48x+64 \\\\5x^2+52x+72 = 0 \\\\x_1 = \frac{-52-\sqrt{1264}}{10} = \frac{-26-2\sqrt{79}}{5} \\\\x_2 = \frac{-52+\sqrt{1264}}{10} = \frac{-26+2\sqrt{79}}{5}$

Проверим, точно ли нам подходят эти два корня. В ходе решения у нас, помимо ОДЗ, $x \leq - \frac{7}{5}$, появилось еще одно условие: $-3x-8 \geq 0$. То есть $x \leq - \frac{8}{3}$. Понятно, что нам нужно проверить только его.

    $\displaystyle \frac{-26-2\sqrt{79}}{5} \leq -\frac{8}{3} \\\\-39-3\sqrt{79} \leq -20\\\\-3\sqrt{79} \leq 19 \;\;\;\;\; \checkmark\\\\\displaystyle \frac{-26+2\sqrt{79}}{5} > \frac{-26+2\sqrt{64}}{5} = - \frac{10}{5} = -2 \;\;\; > \; -\frac{8}{3}$

Значит, первый корень подходит! А второй - нет. Задача решена!

Ответ:

  $\boxed{ \displaystyle \frac{-26-2\sqrt{79}}{5} }$