Question

Найти производные. Помогите пожалуйста

Answer 1

$1)\; \; f(x)=\sqrt{x^2-2x}\\\\f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot (x^2-2x)'=\dfrac{1}{2\sqrt{x^2-2x}}\cdot (2x-2)=\dfrac{x-1}{\sqrt{x^2-2x}}\\\\f'(3)=\dfrac{3-1}{\sqrt{9-6}}=\dfrac{2}{\sqrt3}=\dfrac{2\sqrt3}{3}$

$2)\; \; f(z)=(z^2-1)\sqrt{z^2-1}\; \; ,\; \; f(z)=(z^2-1)^{\frac{3}{2}}\\\\f'(z)=\dfrac{3}{2}\cdot (z^2-1)^{\frac{1}{2}}\cdot (z^2-1)'=\dfrac{3}{2}\sqrt{z^2-1}\cdot 2z=3z\sqrt{z^2-1}\\\\f'(\sqrt2)}=3\sqrt2\sqrt{2-1}=3\sqrt2\\\\\\3)\; \; f(x)=\dfrac{\sqrt{x^2+1}}{x}\\\\f'(x)=\dfrac{\frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\cdot x-\sqrt{x^2+1}\cdot 1}{x^2}=\dfrac{x^2-(x^2+1)}{x^2\sqrt{x^2+1}}=\dfrac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}\\\\f'(\sqrt3)=\dfrac{1}{3\sqrt{3+1}}=\dfrac{1}{6}$

$4)\; \; f(x)=\dfrac{4x}{\sqrt{x^2-1}}\\\\f'(x)=\dfrac{4\sqrt{x^2-1}-4x\cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2-1}}}{x^2-1}=\dfrac{4(x^2-1)-4x^2}{(x^2-1)\cdot \sqrt{x^2-1}}=\dfrac{-4}{\sqrt{(x^2-1)^3}}\\\\f'(5)=\dfrac{-4}{\sqrt{24^3}}=-\dfrac{4}{24\sqrt{24}}=-\dfrac{4}{24\cdot 2\sqrt6}=-\dfrac{1}{12\sqrt6}=-\dfrac{\sqrt6}{72}$

$5)\; \; f(x)=\dfrac{1}{3}x^3-x^2-3x\\\\f'(x)=x^2-2x-3\; ,\\\\f'(x)>0\; \; \to \; \; x^2-2x-3>0\; \; ,\; \; (x-3)(x+1)>0\; ,\\\\znaki:\; \; +++(-1)---(3)+++\\\\x\in (-\infty ;-1\, )\cup (\, 3\, ;\, +\infty \, )$