Question

1. Решить : $4^{x} + 4 \ \textless \ 5 * 2^{x$
2. Найдите площу фигуры, за этим:
$y=5-x^{2}$ , y=1

Answer 1

1. Пусть $2^x=t \Rightarrow 4^x=(2^2)^x=(2^x)^2=t^2 \Rightarrow t^2-5t+4<0$

Решать надо методом интервалов, для этого надо найти нули функции $f(t)=t^2-5t+4$, решим для уравнение $\displaystyle f(t) = 0: t^2-5t+4=0 \ (1-5+4=0) \Rightarrow \left [ {{t=1} \atop {t=\frac{c}{a}=4 }} \right.$

Получаем разложение $(t-1)(t-4)<0 \Rightarrow 1<t<4$

Там интервалы были, знаки на них +-+, выбрали средний

Возвращаемся к замене

$1<2^x<4; \ 2^0<2^x<2^2 \Rightarrow 0<x<2 \Rightarrow x\in(0;2)$

Такой переход имели право сделать, так как функция $g(x)=2^x$ - монотонно возрастающая функция.

2. $y=5-x^2$ -  парабола с ветвями, направленными вниз, $y=1$ - просто прямая и фигура, образованная при их пересечении будет такова, что кусок параболы будет лежать выше.

Вспомним, что для $f(x)\geq g(x)$ на некотором интервале, то площадь фигуры будет равна $S = \int\limits^b_a {(f(x)-g(x))} \, dx$

В нашем случае нужно вычислить пределы, а это как раз абсциссы точек пересечения, то есть нужно решить уравнение

$5-x^2=1 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm2$, пределы нашли, вычисляем:

$\displaystyle S = \int\limits^2_{-2} {(5-x^2-1)} \, dx = \int\limits^2_{-2} {(4-x^2)} \, dx = \bigg(4x-\frac{x^3}{3}\bigg) \bigg|\limits_{-2}^2 = \\=4\cdot 2-\frac{2^3}{3}-\bigg(4\cdot(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \bigg) =8+8-\frac{8}{3}-\frac{8}{3}=16-\frac{16}{3}=\\=\frac{48-16}{3}=\frac{32}{3}=10\frac{2}{3}$