Question

В треугольнике АВС медиана-АМ и биссектриса ВК взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке Е. Найдите площать треугольника АВС, если площадь треугольника ЕКМ, равна 4. СРОЧНО! ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!

Answer 1

Нужно заметить то что треугольник АВM равнобедренный, потому что угол BEM = 90гр , и BE биссектриса, а это возможно в  равнобедренном треугольнике ⇒  значит BM=AB ⇒ AE=EM. По свойству биссектрисы 
$frac{KC}{AK} = frac{BC}{AB}\ BC=2AB\ frac{KC}{AK}=2$
так как ВК биссектриса, обозначим $AE=EM=y\ BM=AB=MC=x$
тогда $EK=sqrt{x^2-y^2}\ S_{EKM}=frac{y*sqrt{x^2-y^2}}{2}=4\ y*sqrt{x^2-y^2}=8$
и по формуле биссектрисы 
$2y=frac{sqrt{2(2x)^2+2x^2-(3x)^2}}{2}=frac{|x|}{2}\ 4y=x\ y*sqrt{16y^2-y^2}=8\ 15y^4=64\ y=frac{2 sqrt{2}}{sqrt[4]{15}}\ x=frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}}$
Найдем угол ABC 
$(frac{4sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})^2=2(*frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})^2-2(*frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})^2*cos2a \ cos2a=frac{7}{8}\ sin2a=frac{ sqrt{15}}{8}\ S_{ABC}=frac{(frac{8sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})(*frac{16sqrt{2}}{sqrt[4]{15}})}{2}*frac{sqrt{15}}{8}=16$