Question

Срочно! 10 класс алгебра

Answer 1

$(\sin x + 1)\left(\text{tg} \, x + \dfrac{1}{3} \right) = 0$

Область определения тангенса: $x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z$

Произведение множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

$\text{I}) \ \sin x + 1 = 0\\\sin x = -1\\x = -\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

Учитывая ОДЗ, $x \in \varnothing$

$\text{II}) \ \text{tg} \, x + \dfrac{1}{3} = 0\\\text{tg} \, x = - \dfrac{1}{3}\\x = \text{arctg} \left(-\dfrac{1}{3} \right) + \pi k, \ k \in Z\\x = -\text{arctg} \dfrac{1}{3} + \pi k, \ k \in Z$

Таким образом, $x = -\text{arctg} \dfrac{1}{3} + \pi k, \ k \in Z,$ — решение исходного уравнения.

Рассмотрим интервал $\left(-\dfrac{\pi}{2}; \ 2\pi \right)$

Для отбора корней можем решить двойное неравенство:

$-\dfrac{\pi}{2} < -\text{arctg} \dfrac{1}{3} + \pi k < 2\pi, \ k \in Z \ \ \ | +\text{arctg} \dfrac{1}{3}$

$-\dfrac{\pi}{2} + \text{arctg} \dfrac{1}{3} < \pi k < 2\pi + \text{arctg} \dfrac{1}{3}, \ k \in Z \ \ \ | : \pi$

$-\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{\pi} \text{arctg} \dfrac{1}{3} < k < 2 + \dfrac{1}{\pi} \text{arctg} \dfrac{1}{3}, \ k \in Z$

Поскольку выражение $\dfrac{1}{\pi} \text{arctg} \dfrac{1}{3}$ пренебрежимо невелико, можем записать наше неравенство так:

$-\dfrac{1}{2} \lesssim k \lesssim 2, \ k \in Z$

Таким образом, $k = \{0; \ 1; \ 2 \}$ — 3 корня

Ответ: 3 корня.