Question

Решите:
x^2-3xy+2y^2=3

Answer 1

 $x^2-3xy+2y^2=3\ x^2-3xy+2y^2-3=0$
нужно как то выразить $y$, поступим так , решим квадратное уравнение относительно этой переменной    
$x^2-3xy+2y^2=3\ 2y^2-3xy+x^2-3=0\ D= sqrt{9x^2-4*2*(x^2-3)} = sqrt{x^2+24}\ y=frac{3x+sqrt{x^2+24}}{4} \ y=frac{3x-sqrt{x^2+24}}{4}$
⇒$y=frac{3x-sqrt{x^2+24}}{4}$ с выражение ⇒$sqrt{x^2+24}$ следует то что х должен быть таким что бы само выражение была квадратом какого то числа очевидно подходит x=5, так как выходит что  ⇒7^2
тогда у = 2, видно что и  x=-5 подходит, тогда  y=-2, видно что и x=+- 1 подходит тогда  у=+-2 
и того ответ (5;2) (-5;-2)  (-1;-2)   (1;2)
Докажем что больше нет таких чисел целых 
$sqrt{x^2+24}=n\ x^2+24=n^2\ n^2-x^2=24\ (n-x)(n+x)=24$
так как х целое то и n целое,тогда возможны такие варианты только 
$left { {{n-x=2} atop {n+x=12}} right. \ left { {{n-x=4} atop {n+x=6}} right. \ left { {{n-x=1} atop {n+x=24}} right.\ left { {{n-x=3} atop {n+x=8}} right.$
с учетом того что первые две системы уже были решены и их ответы уже известны  написанные жирным шрифтом, что касается о последних решая их мы не получим целых чисел , соответственно это и будут решения 
n-это какое то определенно  целое число 

Answer 2

x^2-3xy+2y^2=3
x^2-2xy+y^2+y^2-xy=3
(y-x)^2+y(y-x)=3
(y-x)(y-x+y)=3
(y-x)(2y-x)=3
1. y-x=1
2y-x=3
2y-x-y+x=2
y=2
x=1
2. y-x=3
2y-x=1
2y-x-y+x=1-3
y=-2
x=-5
3. y-x=-1
2y-x=-3
2y-x-y+x=-3+1
y=-2
x=-3
4. y-x=-3
2y-x=-1
2y-x-y+x=-1+3
y=2
x=5