Question

№740. Точка дотику кола, вписаного в прямокутний трикутник, ділить його гіпотенузу на відрізки завдовжки 8 см і 12 см. Знайдіть площу трикутника. (Решение пожалуйста с дано и рисунком) ​

Answer 1

Дано:

ΔABC, ∠B = 90°.

Вписанная окружность с центром O и радиусом OD = OE = OF,

D∈BC, E∈AC, F∈AB.

OE = 12 (см), EC = 8 (см).

Найти:

$S_{\triangle ABC} = ?$

Решение:

Заметим, что $AE=AF=12$  и  $CE=CD=8$ (так как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, равны).

Пусть $OD=OE=OF=r$.

Тогда $\square BDOF$ - квадрат, так как $\angle B = \angle D = \angle F = 90 \textdegree$ (и, значит, $\angle O = 360 \textdegree - 3 \cdot 90 \textdegree = 90 \textdegree$), а также $OD=FB$, $OF=DB$ и $OF=OD$. - Все стороны и углы данного четырехугольника равны.

Значит, $BD=BF=r$.

Тогда катеты треугольника $AB=12+r$ и $BC=8+r$, а гипотенуза равна $AC=12+8=20$.

По тереме Пифагора:

$(AB)^2 + (BC)^2 = (AC)^2$

$(12+r)^2+(8+r)^2=20^2\\144+24r+r^2+64+16r+r^2 = 400\\208+40r + 2r^2=400\\2r^2+40r = 192\\r^2+20r-96=0\\\left[\begin{array}{ccc}r_1=4\\r_2=-24\end{array}\right$

Второй корень нам не подходит (он отрицательный ... ).

Так что $r=4$.

$AB=4+12=16\\BC=4+8=12$

Можем найти площадь:

$S_{ \triangle ABC} = \dfrac{(AB) \cdot (AC)}{2} = \dfrac{16 \cdot 12}{2} = 96$

Задача решена!

Ответ:  

96  см².