Question

Знайти загальний розв’язок лінійних однорідних ДР 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами(Завдання на фото)

Answer 1

Рівняння вигляду $y'' + p_{1}y' + p_{2}y = 0,$ де $p_{1}, \ p_{2}$ — задані числа, є лінійним однорідним диференціальним рівнянням (ЛОДР) другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Метод Ейлера (метод характеристичних рівнянь) дозволяє знаходити загальний розв'язок для вказаного рівняння.

Розв'язок цього рівняння шукаємо у вигляді $y = e^{kx},$ де $k$ — деяка стала (дійсна чи комплексна). Тоді, якщо $y = e^{kx},$ то $y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}$

$k^{2}e^{kx} + p_{1}ke^{kx} + p_{2}e^{kx} = 0 \ \ \ | : e^{kx}$

$k^{2} + p_{1}k + p_{2} = 0$ — характеристичне рівняння

Можливі три випадки:

➀ $k_{1}$ і $k_{2}$ — дійсні, $k_{1}\neq k_{2}$

Фундаментальна система розв'язків: $y_{1} = e^{k_{1}x}, \ y_{2} = e^{k_{2}x}$ — функції лінійно незалежні, бо $\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = \dfrac{e^{k_{1}x}}{e^{k_{2}x}} = e^{(k_{1} - k_{2})x} \neq \text{const}$

Загальний розв'язок: $y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1}e^{k_{1}x} + C_{2}e^{k_{2}x}$

Приклад: а) $y'' - 49y = 0$

Метод Ейлера: $y = e^{kx}, \ y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}$

Характеристичне рівняння: $k^{2} - 49 = 0; \ k^{2} = 49; \ k_{1} = -7, \ k_{2} = 7$

Загальний розв'язок: $y = C_{1}e^{-7x} + C_{2}e^{7x}$

Відповідь: $y = C_{1}e^{-7x} + C_{2}e^{7x}$

Приклад: в) $y'' + 2y' - 3y = 0$

Метод Ейлера: $y = e^{kx}, \ y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}$

Характеристичне рівняння: $k^{2} + 2k - 3 = 0; \ k_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} =$

$= \dfrac{-2 \pm 4}{2} = \left[\begin{array}{ccc}k_{1} = -3\\k_{2} = 1 \ \ \\\end{array}\right$

Загальний розв'язок: $y = C_{1}e^{-3x} + C_{2}e^{x}$

Відповідь: $y = C_{1}e^{-3x} + C_{2}e^{x}$

➁ $k_{1}$ і $k_{2}$ — дійсні, $k_{1} = k_{2}$

Якщо покласти $y_{1} = e^{k_{1}x}, \ y_{2} = e^{k_{2}x}$, то ці функції лінійно залежні, бо $\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = \dfrac{e^{k_{1}x}}{e^{k_{2}x}} = \dfrac{e^{k_{1}x}}{e^{k_{1}x}} = 1 = \text{const}$

Фундаментальна система розв'язків: $y_{1} = e^{k_{1}x}, \ y_{2} = xe^{k_{1}x}$ — функції лінійно незалежні, бо $\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = \dfrac{e^{k_{1}x}}{xe^{k_{1}x}} = \dfrac{1}{x} \neq \text{const}$

Загальний розв'язок: $y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1}e^{k_{1}x} + C_{2}xe^{k_{1}x}$

➂ $k_{1}$ і $k_{2}$ — комплексно спряжені, $k_{1,2} = \alpha \pm \beta i, \ \alpha \in \mathbb{R}, \ \beta \in \mathbb{R}, \ i = \sqrt{-1}$

Фундаментальна система розв'язків: $y_{1} = e^{\alpha x}\cos \beta x, \ y_{2} = e^{\alpha x}\sin \beta x$ — функції лінійно незалежні, бо $\dfrac{y_{1}}{y_{2}} = \dfrac{e^{\alpha x}\cos \beta x}{e^{\alpha x}\sin \beta x}} = \text{ctg} \ \beta x \neq \text{const}$

Загальний розв'язок: $y = C_{1}y_{1} + C_{2}y_{2} = C_{1}e^{\alpha x}\cos \beta x + C_{2}e^{\alpha x}\sin \beta x$

Приклад: б) $y'' - 4y' + 5y = 0$

Метод Ейлера: $y = e^{kx}, \ y' = ke^{kx}, \ y'' = k^{2}e^{kx}$

Характеристичне рівняння: $k^{2} - 4k + 5 = 0; \ k_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} =$

$= \dfrac{4 \pm \sqrt{-4}}{2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{4} \cdot \sqrt{-1}}{2} = \dfrac{4 \pm 2i}{2} = 2 \pm i$

Отже, $\alpha = 2, \ \beta = 1$

Загальний розв'язок: $y = C_{1}e^{2 x}\cos x + C_{2}e^{2 x}\sin x$

Відповідь: $y = C_{1}e^{2 x}\cos x + C_{2}e^{2 x}\sin x$