Question

Исследовать на экстремум функцию двух переменных z=f(x,y) z=6xy-9x^2-9y^2+4x+4y

Answer 1

Функция

 

$f(x, y)=6xy-9x^2-9x^2+4x+4y$

 

непрерывно дифференцируема на всей действительной плоскости, поэтому все её экстремумы находятся среди стационарных точек функции. Ищем их:

 

$frac{partial f}{partial x}=6y-18x+4=0$

 

$frac{partial f}{partial y}=6x-18y+4=0$.

 

 Решая эту систему, находим единственную стационарную точку:

 

$x=y=frac13$

 

Чтобы определить тип стационарной точки составим матрицу вторых производных:

 

$frac{partial^2f}{partial x^2}=frac{partial^2f}{partial y^2}=-18, frac{partial^2f}{partial xpartial y}=6,$

 

$left(begin{array}{cc} -18&6\ 6&-18\ end{array}right)$.

 

Эта матрица, согласно критерию Сильвестра, отрицательно определённая (так как её верхний левый элемент отрицателен, а определитель положителен), значит в найденной точке функция достигает локального максимума.

 

PS: задача хоть и простая, но явно не школьная, скорее всего где-то 2-ой семестр ВУЗа, матан. Советую обращаться в другие форумы, например в dxdy.