Question

Розв’язати рівняння: $(cos2\pi -cos2x)cosx=sinx$

. У відповідь запишіть кількість коренів рівняння, які належать проміжку [-2π;2π]

Answer 1

$(\cos 2\pi -\cos 2x) \cos x = \sin x$

$(1 -\cos^{2}x + \sin^{2}x) \cos x = \sin x$

$(\sin^{2}x + \sin^{2}x) \cos x = \sin x$

$2\sin^{2}x \cos x - \sin x = 0$

$\sin x (2\sin x \cos x - 1) = 0$

$\text{I}) \ \sin x = 0$

$x = \pi n, \ n \in Z$

$\text{II}) \ 2\sin x\cos x - 1 = 0$

$\sin 2x = 1$

$2x = \dfrac{\pi }{2} + 2\pi n, \ n \in Z$

$x = \dfrac{\pi }{4} + \pi n, \ n \in Z$

Розглянемо проміжок $[-2\pi; \ 2\pi]$

Скористаємося методом перебору коренів:

Якщо $n = 0$, то $x_{1} = 0; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4}$

Якщо $n = 1$, то $x_{1} = \pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} + \pi = \dfrac{5\pi }{4}$

Якщо $n = 2$, то $x_{1} = 2\pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} + 2\pi = \dfrac{9\pi }{4} \notin [-2\pi ; \ 2\pi]$

Якщо $n = -1$, то $x_{1} = -\pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} - \pi = -\dfrac{3\pi }{4}$

Якщо $n = -2$, то $x_{1} = -2\pi ; \ x_{2} = \dfrac{\pi }{4} - 2\pi = -\dfrac{7\pi }{4}$

Отже, загальна кількість коренів, що входять у проміжок $[-2\pi; \ 2\pi]$, дорівнює 9.

Відповідь: 9