Question

xy'-2y=2x^4 общее и частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

$xy'-2y=2x^4$

$y'-\dfrac{2}{x}\cdot y=2x^3$

Решение ищем в виде произведения ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+v'u$

Подставляем:

$u'v+v'u-\dfrac{2}{x}\cdot uv=2x^3$

Пусть сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v-\dfrac{2}{x}\cdot uv=0$

$u'-\dfrac{2}{x}\cdot u=0$

$u'=\dfrac{2}{x}\cdot u$

$\dfrac{du}{dx} =\dfrac{2}{x}\cdot u$

$\dfrac{du}{u} =\dfrac{2dx}{x}$

$\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{2dx}{x}$

$\ln|u| =2\ln|x|$

$\ln|u| =\ln x^2$

$u =x^2$

Тогда второе слагаемое в левой части равно правой части:

$v'u=2x^3$

$v'\cdot x^2=2x^3$

$v'=2x$

$\dfrac{dv}{dx} =2x$

$dv=2xdx$

$\int dv=\int2xdx$

$v=x^2+C$

Общее решение:

$y=uv=x^2(x^2+C)=x^4+Cx^2$

Частное решение. Пусть $C=1$:

$y_c=x^4+x^2$