Question

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения. Решить задачу Коши.

если не составит труда, то можно с пояснением, большое спасибо

Answer 1

$xy' - y(\ln y - \ln x) = 0, \ \ \ y(1) = e^{2}$

$xy' = y\ln \dfrac{y}{x}$

$y' = \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x}$

Пусть $f(x,y) = \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x}$

Сделаем проверку: $f(\lambda x, \lambda y) = \dfrac{\lambda y}{\lambda x} \ln \dfrac{\lambda y}{\lambda x} = \dfrac{y}{x} \ln \dfrac{y}{x} = f(x, y)$

Таким образом, $f(\lambda x,\lambda y) = \lambda ^{0}f(x,y)$ — имеем однородную функцию нулевого измерения.

Сделаем замену: $y = u \cdot x$, где $u = u(x)$. Тогда $y' = u'x + u$

Имеем:

$u'x + u = \dfrac{ux}{x} \ln \dfrac{ux}{x}$

$u'x + u = u \ln u$

$\dfrac{du}{dx} \cdot x = u \ln u - u \ \ \ | \cdot dx$

$du \cdot x = \left(u \ln u - u\right) dx \ \ \ | : x \neq 0$

$\dfrac{du}{u \ln u - u} = \dfrac{dx}{x}$

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u \ln u - u} = \int \dfrac{dx}{x}$

Рассчитаем интегралы:

$\displaystyle \int \dfrac{du}{u \ln u - u} = \left|\begin{array}{ccc}t = \ln u \ \ \\u = e^t \ \ \ \ \\du = e^t dt\end{array}\right| = \int \dfrac{e^t}{e^t t - e^t} \, dt = \int\limits {\frac{e^t}{e^t(t - 1)} } \, dt =$

$\displaystyle = \int\limits {\dfrac{1}{t - 1} } \, d(t - 1) = \ln |t - 1| + C = \ln |\ln u- 1| + C$

$\displaystyle \int\limits {\dfrac{dx}{x} } = \ln |x| + C$

$\ln |\ln u - 1| + C_{1} = \ln |x| + C_{2}$

$\ln |\ln u - 1| = \ln|x| + \ln |C|$

$\ln |\ln u - 1| = \ln |Cx|$

$\ln u - 1 = Cx$

$\ln u = Cx + 1$

$u = e^{Cx+1}$

Обратная замена:

$\dfrac{y}{x} = e^{Cx+1}$

$y = x e^{Cx+1}$ — общее решение

Из начальных условий $y(1) = e^{2}$ имеем:

$e^{2} = e^{C+1}$

$2 = C + 1$

$C = 1$

Частное решение:

$y_{0} = x e^{x+1}$

Ответ: $y_{0} = x e^{x+1}$