Question

Розв'яжіть нерівність: 2^x+2^1-x≤3
Прошу написати з роз'ясненням.

Answer 1

Ответ: 0 ≤ x ≤ 1

Объяснение: Я спростив вираз таким чином. Домножимо ліву і праву частину нерівності на 2ˣ. Основа степенної функції більше за 1, тож знак нерівності не зміниться.

(2ˣ+2¹⁻ˣ)·2ˣ≤3·2ˣ

2²ˣ+2¹⁻ˣ⁺ˣ-3·2ˣ≤0

(2ˣ)²-3·2ˣ+2≤0, зробимо заміну z=2ˣ

z²-3z+2≤0, знадемо корені рівняння z²-3z+2=0, D=9-4·2=1, z₁=1, z₂=2

На числовій прямій відкладемо z₁=1, z₂=2. За допомогою методу інтервалів знайдемо рішення нерівності z²-3z+2≤0.

    +                      -                     +

________1__________2_________   z ∈ [1;2]

Або 1 ≤ z ≤ 2. Зворотня заміна. Знову повторюсь: через те що основа степеня більша за 1, знаки нерівності зберігаються.

1 ≤ z ≤ 2

1 ≤ 2ˣ ≤ 2

2⁰ ≤ 2ˣ ≤ 2¹

0 ≤ x ≤ 1