Question

Обязательно дайте объяснение.

На высоте неравнобедренного треугольника ABC, проведенной из вершины A, выбрана точка X.
Оказалось, что ∠ABX = ∠ACX. Докажите, что X совпадает с ортоцентром треугольника ABC. ​

Answer 1

Пусть $AH_A$ — высота. Выполним симметрию ΔABX относительно AX. ΔABX переходит в ΔAB'X. ∠AB'X = ∠ACX и опираются на один отрезок, значит, AXB'C — вписанный четырёхугольник. Тогда и ∠B'CX = ∠B'AX. Но ΔBAB' — равнобедренный по построению, где $AH_A$ — высота. Тогда ∠BAX = ∠B'AX = ∠B'CX.

Пусть прямая CX пересекает AB в $H_C$, а BX пересекает AC — в $H_B$. Рассмотрим $\triangle ABH_A$ и $\triangle CBH_C$: ∠B — общий, $\angle BAH_A = \angle BCH_C$ ⇒ $\angle H_A = \angle H_C$, но $\angle H_A$ — прямой, тогда и $\angle H_C$ — прямой. $AH_A, CH_C$ — высоты, пересекаются в точке X, тогда $BH_B$ — также высота, X — ортоцентр, что и требовалось доказать.