Question

Помогите решить пожалуйста очень нужно Вычислить длину дуги цепной линии y^2=x^3 от точки x1=0 до точки x2=4

Answer 1

$y^2=x^3\iff (y=x^{\tfrac{3}{2}})\vee (y=-x^{\tfrac{3}{2}})$

Соответственно, достаточно вычислить длину дуги для одной из частей кривой и удвоить результат

$\displaystyle\\L = 2\cdot\int_{0}^{4}\sqrt{1+y_{x}^{2}}\,dx\medskip\\y_{x} = \dfrac{3}{2}\sqrt{x}\implies L = 2\cdot\int_{0}^{4}\sqrt{1+\dfrac{9}{4}x}\,dx=2\cdot\dfrac{4}{9}\int_{0}^{4}\left(1+\dfrac{9}{4}x\right)^{\tfrac{1}{2}}\,d\left(1+\dfrac{9}{4}x\right)=\medskip\\=\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{2}{3}\left(1+\dfrac{9}{4}x\right)^{\tfrac{3}{2}}\bigg|_{0}^{4}=\dfrac{16}{27}\left(10^{\tfrac{3}{2}}-1\right)$