Question

двое Трактористов работая вместе могут вспахать поле за 4 дня. Если первый трактор вспашет 1/3 поля, а затем его заменит второй, то всё поле будет вспахано за 10 дней. За сколько дней может вспахать поле каждый тракторист, работая самостоятельно, если первый работает медленнее

Даю 40 баллов​

Answer 1

Решение:

• Пусть $x$ - это та часть поля, которую вспахивает 1-ый тракторист за 1 день, а $y$ - та часть поля, которую вспахивает уже 2-ой тракторист, но тоже за 1 день.

Мы можем составить систему уравнений!

1. За 4 дня первый тракторист вспашет $4x$ части поля, а второй - $4y$ части поля. И, по условию, сумма этих двух чисел равна 1 (полю).
2. Время, за которое 1-ый трактор вспашет $1/3$ поля составляет $(1/3)/x$, а то время, за которое второй трактор вспашет $1-1/3=2/3$ поля равно не иначе, как $(2/3)/y$. И сумма этих двух отрезков времени - 10 дней.

Есть две переменных - но и есть два уравнения:

$\displaystyle \left \{ {{4x+4y=1} \atop { \frac{(1/3)}{x} + \frac{(2/3)}{y}=10 }} \right. ;$    $\displaystyle \left \{ {{4y=1-4x} \atop { \frac{1}{3x} + \frac{2}{3y} = 10}} \right. ;$    $\displaystyle \left \{ {{y = 0,25-x} \atop {3y+6x=90xy}} \right. .$

Можем сделать подстановку:

$3 \cdot (0,25-x) + 6 \cdot x = 90 \cdot (0,25-x) \cdot x$

$0,75+3x=22,5x-90x^2$

$90x^2-19,5x+0,75=0$

$120x^2-26x+1=0$

Дальше, воспользовавшись формулой корней полного квадратного уравнения $x_1,x_2=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$, получим:

• $x_1=\dfrac{1}{20} , \;\;\; x_2 = \dfrac{1}{6} .$

Осталось только $y$-и найти:

• $\displaystyle y_1=0,25- \frac{1}{20} = \frac{1}{5} \\\\y_2=0,25-\frac{1}{6} = \frac{1}{12}$

Итак, у нас есть два решения, и между ними придется сделать выбор.

По условию дано, что " ... первый работает медленнее ... ". Это означает, что $x < y$.

Но под этот критерий подходит только первое решение (так как $1/6 > 1/12$):

• $\displaystyle \left \{ {{x_1=\frac{1}{20} } \atop {y_1=\frac{1}{5} }} \right.$

Если мы сделаем проверку, то это решение будет удовлетворять всем условиям.

Но все же заметим, что пока ответа задачи у нас нет. Так что самое время его получить.

$\displaystyle t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{1}{\frac{1}{20} } = 20$ (дней)

$\displaystyle t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{1}{\frac{1}{5} } = 5$  (дней)

Задача [наконец] решена!

Ответ:

первый тракторист может вспахать поле за $\Large { \boxed {20} }$ дней,

а второй - за $\Large { \boxed {5} }$ дней.