Question

Три различных числа x, y, z образуют в указанном порядке геометрическую прогрессию, а числа x + y, y + z, z + x образуют в указанном порядке арифметическую прогрессию. Найдите все возможные знаменатели геометрической прогрессии.

Answer 1

Выведем некие следствия  
$x;y;z\ x+y y+z z+x$
Если первый образуют геометрическую прогрессию то справедливо равенство 
$frac{y}{x}=frac{z}{y}$
если вторые образуют арифметическую прогрессию, то 
$y+z-(x+y)=z+x-(y+z)\ z-x=x-y\ z+y=2x$
теперь преобразуем  
$z=2x-y\ frac{y}{x}=frac{2x-y}{y}\ frac{y}{x}=frac{2x}{y}-1\ frac{2x}{y}-frac{y}{x}=1$
нам нужно найти соотношение y/x 
$frac{y}{x}=a\ frac{x}{y}=frac{1}{a}\ frac{2}{a}-a=1\ 2-a^2=a\ a^2+a-2=0\ D=1+4*1*2=3^2\ a_{1}=frac{-1+3}{2}=1\ a_{2}=frac{-1-3}{2}=-2$
то есть их 2 , первое это выходит постоянная прогрессия , вторая убывающая 

Answer 2

cпc)