Question

Показательно-логарифмическое неравенство.

Answer 1

ОДЗ: x>0.

Замена $\log_3 x=t\Rightarrow x=3^t.$

Неравенство превращается в

$3\cdot 3^{\frac{t^2}{4}}\le 3^{\frac{t^2}{3}}; 3^{1+\frac{t^2}{4}}\le 3^{\frac{t^2}{3}} \Rightarrow 1+\frac{t^2}{4}\le \frac{t^2}{3}; \frac{t^2}{12}\ge 1; t^2\ge 12;$

$|t|\ge 2\sqrt{3}; t\in (-\infty,-2\sqrt{3}]\cup [2\sqrt{3},+\infty).$

1-й случай: $t\le -2\sqrt{3}\Rightarrow \log_3 x\le -2\sqrt{3}\Rightarrow x\le 3^{-2\sqrt{3}}$

2-й случай: $t\ge 2\sqrt{3}\Rightarrow \log_3 x\ge 2\sqrt{3}; x\ge 3^{2\sqrt{3}}$

Учитывая ОДЗ, получаем ответ:

$(0;3^{-2\sqrt{3}}]\cup [3^{2\sqrt{3}};+\infty)$

Замечание. В процессе решения мы дважды использовали, что 3>1.