Question

Помогите вычислить сумму членов ряда.

Answer 1

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$

Здесь $n$-й член ряда $u_{n} = \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}}$ является правильной рациональной дробью относительно $n$. Разложим $u_{n}$ на сумму простейших дробей:

$\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{A}{n^{2}} + \dfrac{B}{n}+ \dfrac{C}{(n + 1)^{2}} + \dfrac{D}{n + 1}$

$2n + 1 = A(n + 1)^{2} + Bn(n + 1)^{2} + Cn^{2} + Dn^{2}(n + 1)$

Если $n = 0$, то $A = 1$

Если $n = -1$, то $2 \cdot (-1) + 1 = C \Rightarrow C = -1$

Коэффициенты около $n^{1}: \ 2 = 2A + B; \ B = 2 - 2A = 2 - 2 = 0$

Коэффициенты около $n^{3}: \ 0 = B + D; \ D = -B = 0$

Итог: $\dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} = \dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

Поэтому $S_{n} = \dfrac{3}{1 \cdot 4} + \dfrac{5}{4 \cdot 9} + ... + \dfrac{2n + 1}{n^{2} (n + 1)^{2}} =$

$= \left(1 - \dfrac{1}{4} \right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{9} \right) + ... + \left(\dfrac{1}{n^{2}} - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}} \right) = 1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = \lim_{n \to \infty} \left(1 - \dfrac{1}{(n + 1)^{2}}\right) = 1$

Следовательно, $\displaystyle \exists \lim_{n \to \infty} S_{n}$, ряд сходится, а сумма ряда $S = \displaystyle \lim_{n \to \infty} S_{n} = 1$

Ответ: 1.