Question

sin 5α − sin 7α / cos 7α − cos 5α = ctg 6α
Доказать тождество

Answer 1

Используем формулы разность синусов и разность косинусов:

sin(a) - sin(b) ≡ 2·sin( (a-b)/2 )·cos( (a+b)/2).

cos(a) - cos(b) ≡ -2·sin( (a+b)/2)·sin( (a-b)/2).

Тогда sin(5a) - sin(7a) ≡ 2·sin( (5a - 7a)/2)·cos( (5a+7a)/2) ≡

≡ 2·sin(-a)·cos(6a) ≡ -2·sin(a)·cos(6a).

cos(7a) - cos(5a) = -2sin( (7a+5a)/2)·sin( (7a - 5a)/2) ≡

≡ - 2sin(6a)·sin(a).

левая часть ≡ $\frac{-2\sin{a}\cos{6a}}{-2\sin{6a}\sin{a}} =$

$= \frac{\cos{6a}}{\sin{6a}} = \mathrm{ctg}(6a)$