Question

Знайдіть площу прямокутного трикутника , якщо висота проведена до гіпотенузи ,поділяє її на відрізки 6 см і 24 см.

Answer 1

Для даної задачі треба скористатися властивостями катетів та їх проекцій на гіпотенузу в прямокутному трикутнику.

Перший спосіб

Катет прямокутного трикутника — середнє пропорційне між гіпотенузою $c$ і проекцією цього катета на гіпотенузу:

$a^{2} = a_{c}c \Rightarrow a = \sqrt{a_{c}(a_{c}+ b_{c})} = \sqrt{6 \cdot (6 + 24)} = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$ см

$b^{2} = b_{c}c \Rightarrow a = \sqrt{b_{c}(a_{c}+ b_{c})} = \sqrt{24 \cdot (6 + 24)} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$ см

Площа $S$ прямокутного трикутника знаходится як півдобуток його катетів:

$S = \dfrac{a \cdot b}{2} = \dfrac{6\sqrt{5} \cdot 12\sqrt{5}}{2} = 180$ см²

Другий спосіб

Висота $h_{c}$ прямокутного трикутника, що проведена до гіпотенузи $c$ з вершини прямого кута, — середнє пропорційне між проекціями катетів на гіпотенузу:

$h^{2}_{c} = a_{c}b_{c} \Rightarrow h_{c} = \sqrt{a_{c}b_{c}} = \sqrt{6 \cdot 24} = \sqrt{144} = 12$ см

Площа $S$ будь-якого трикутника знаходиться як півдобуток його сторони на висоту, що проведена до цієї сторони. У нашому випадку — це півдобуток гіпотенузи $c$ і висоти $h_{c}$, що до неї проведена:

$S = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} = \dfrac{1}{2} \cdot (6 + 24) \cdot 12 = 30 \cdot 6 = 180$ см²

Відповідь: 180 см².