Question

4. Докажите, что при любом нечетном m значение многочлена m³-m делится на 24.

Answer 1

$m^3-m=m(m^2-1)=m(m-1)(m+1)=(m-1)\cdot m\cdot(m+1)$

Многочлен представляет собой произведение трех подряд идущих чисел. Из трех подряд идущих чисел одно кратно 3.

Так как $m$ нечетное, то $m-1$ и $m+1$ - два подряд идущих четных числа. Из двух подряд идущих четных чисел одно кратно 4.

Итого, в произведении есть множитель 3, а также множители 4 и 2. Значит, все произведение делится на $3\cdot2\cdot4=24$.