Question

Помогите с заданиями пожалуйста)))

Answer 1

$6. \ f(x) = \dfrac{x^{3}}{3} - \dfrac{3a - 1}{2}x^{2} + (2a^{2} - a)x + 19$

$D(f): \ x \in \mathbb{R}$

Знайдемо похідну від функції $f(x):$

$f'(x) = x^{2} - (3a - 1)x + 2a^{2} - a$

а) Критичною точкою функції $f(x)$ називається точка, у якій похідна $f'(x)$ цієї функції дорівнює нулю.

Отже, розв'яжемо квадратне рівняння $x^{2} - (3a - 1)x + 2a^{2} - a = 0$ залежно від значень параметра $a$

Знайдемо дискримінант цього рівняння:

$D = (-(3a - 1))^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (2a^{2} - a) = a^{2} - 2a +1 = (a - 1)^{2} \geq 0$

Розглянемо два випадки.

1) Якщо $D > 0$, тобто $(a - 1)^{2} > 0$, то маємо дві критичні точки.

$(a - 1)^{2} > 0$

$a \neq 1$, тобто $a \in (-\infty; \ 1) \cup (1; \ +\infty)$

Отже, при $a \in (-\infty; \ 1) \cup (1; \ +\infty)$ маємо дві критичні точки:

$x_{1,2} = \dfrac{3a - 1 \pm \sqrt{(a - 1)^{2}}}{2 \cdot 1} = \dfrac{3a - 1\pm (a - 1)}{2} = \left[\begin{array}{ccc}x_{1} = 2a - 1\\x_{2} = a \ \ \ \ \ \ \ \\\end{array}\right$

2) Якщо $D = 0$, тобто $(a - 1)^{2} = 0; \ a = 1,$ то маємо одну критичну точку:

$x = \dfrac{3a - 1}{2} = \dfrac{3 \cdot 1 - 1}{2} = 1$

б) Точками екстремуму функції $f(x)$ називаються критичні точки, при переході через яких похідна $f'(x)$ змінює свій знак на протилежний.

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму): якщо точка $x_{0}$  є точкою екстремуму функції $f(x)$ і в цій точці існує похідна, то вона дорівнює нулю: $f'(x) = 0$ (див. пункт а).

Теорема (достатня умова екстремуму): якщо функція $f(x)$ неперервна в точці $x_{0}$ та:

1) $f'(x) > 0$ на проміжку $(a; \ x_{0})$ і $f'(x) < 0$ на проміжку $(x_{0}; \ b)$, то $x_{0}$ є точкою максимуму функції $f(x)$;

2) $f'(x) < 0$ на проміжку $(a; \ x_{0})$ і $f'(x) > 0$ на проміжку $(x_{0}; \ b)$, то $x_{0}$ є точкою мінімуму функції $f(x)$.

Якщо $a \in (-\infty; \ 1) \cup (1; \ +\infty)$, то:

1) $x_{1} > x_{2}$ при $a \in (1; \ +\infty)$ маємо: $x_{\max} = a; \ x_{\min} = 2a - 1$ (див. рисунок).

2) $x_{1} < x_{2}$ при $a \in (-\infty; \ 1)$ маємо: $x_{\max} = 2a - 1; \ x_{\min} = a$ (див. рисунок).

Якщо $a = 1$, то немає точок екстремуму (див рисунок).

в) Ознака зростання та спадання функції: якщо $f'(x) > 0$ у кожній точці проміжку $(a; \ b)$, то функція $y = f(x)$ зростає на

З рисунків можна дійти висновку:

1) Якщо $a \in (1; \ +\infty)$, то функція $f(x)$ зростає на $x \in (-\infty; \ a) \cup (2a - 1; \ +\infty)$ та спадає на $x \in (a; \ 2a - 1)$.

2) Якщо $a \in (-\infty; \ 1)$, то функція $f(x)$ спадає на $x \in (-\infty; \ 2a - 1) \cup (a; \ +\infty)$ та спадає на $x \in (2a - 1; \ a)$.

3) Якщо $a = 1$, то функція зростає на всій області $D$ визначення.

Відповідь:

а) Якщо $a \in (-\infty; \ 1) \cup (1; \ +\infty)$, то маємо дві критичні точки: $x_{1} = 2a - 1, \ x_{2} = a$

Якщо $a = 1$, то маємо одну критичну точку: $x = 1$

б) Якщо $a \in (1; \ +\infty)$, то $x_{\max} = a; \ x_{\min} = 2a - 1$

Якщо $a \in (-\infty; \ 1)$, то $x_{\max} = 2a - 1; \ x_{\min} = a$

Якщо $a = 1$, то немає точок екстремуму.

в) Якщо $a \in (1; \ +\infty)$, то функція $f(x)$ зростає на $x \in (-\infty; \ a) \cup (2a - 1; \ +\infty)$ та спадає на $x \in (a; \ 2a - 1)$.

Якщо $a \in (-\infty; \ 1)$, то функція $f(x)$ спадає на $x \in (-\infty; \ 2a - 1) \cup (a; \ +\infty)$ та спадає на $x \in (2a - 1; \ a)$.

Якщо $a = 1$, то функція зростає на всій області $D$ визначення.

$7. \ f(x) = x^{3} - ax^{2} + (a^{2} - 2a)x - 7, \ \ \ x_{0} = 1$

Знайдемо похідну від функції $f(x):$

$f'(x) = 3x^{2} - 2ax + a^{2} - 2a$

Прирівняємо похідну до нулю:

$3x^{2} - 2ax + a^{2} - 2a = 0$

Оскільки $x_{0} = 1$ — можливо одна з точок екстремуму функції $f(x)$, то підставимо її в рівняння і розв'яжемо його відносно $a$:

$3 - 2a + a^{2} - 2a = 0$

$a^{2} - 4a + 3 = 0$

$a_{1} = 1; \ a_{2} = 3$

Отже, при $a_{1} = 1$ та $a_{2} = 3$ точка $x_{0} = 1$ є точкою екстремуму функції $f(x)$

Відповідь: $a_{1} = 1; \ a_{2} = 3$