Question

Скільки прямих ліній можна провести через 7 точок , з яких ніякі три не лежать на одній прямій

Answer 1

Ответ:

21

Объяснение:

Перевод: Сколько прямых можно провести через 7 точек, если никакие три точки не лежат на одной прямой?

а) Один из способов решения задачи: пусть порядковые номера точек 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Так как никакие три точки не лежат на одной прямой, то:

1) точку №1 можно соединить прямой с точками 2, 3, 4, 5, 6, 7, получаем 6 различных прямых;

2) точку №2 можно соединить прямой с точками 3, 4, 5, 6, 7, получаем 5 различных прямых (прямая, соединяющая точки №2 и №1, учтёна в пункте 1);

3) точку №3 можно соединить прямой с точками 4, 5, 6, 7, получаем 4 различных прямых (прямые, соединяющие точки №2 и №1,  №3 и №1,  №3 и №2 учтёны в пунктах 1 и 2);

...

6) точку №6 можно соединить прямой с точкой 7, получаем 1 прямую (остальные случаи учтёны в предыдущих пунктах).

Итак, всего получаются 6+5+4+3+2+1=21 различных прямых.

б) Задачу можно решить как комбинаторную с помощью сочетания без повторений из n элементов по m.

Сочетаниями $\tt C_n^m$ из n элементов по m называются неупорядоченные совокупности, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом и вычисляется по формуле:

$\tt C_n^m=\dfrac{n!}{m! (n-m)!}.$

Нашу задачу можно трактовать в следующем виде: сколькими способами можно выбрать 2 точки из 7?

Имеем:

$\tt C_7^2=\dfrac{7!}{2! (7-2)!}= \dfrac{7!}{2! 5!}=\dfrac{6 \cdot 7}{2}=21.$