Question

В равнобедренном треугольнике ABC основание AC=12, AB=BC=8. Найти длину биссектрисы $CC_{1}$ угла ACB.

Answer 1

Есть готовая формуле, по ней 
$CC_{1}=frac{sqrt{12*8(12+8-8)(12+8+8)}}{12+8} = frac{12sqrt{14}}{5}$

Решение:
Найдем по теореме косинусов сам угол  $ACB$    
$8^2=8^2+12^2-2*8*12*cosACB\ cosACB=frac{3}{4}$
так как $CC_{1}$ биссектриса то углы 
$BCC_{1}=frac{arccosfrac{3}{4}}{2}$
теперь пусть $BC_{1}=x\ AC_{1}=8-x\ CC_{1}=y$
тогда справедливы такие соотношения 
$x^2=8^2+y^2-16y*cos(frac{arccosfrac{3}{4}}{2})\ (8-x)^2= 12^2+y^2-24y* cos(frac{arccosfrac{3}{4}}{2})$

Теперь преобразуем $cos(frac{arccosfrac{3}{4}}{2})$
 по формуле половинного  аргумента 
$cosfrac{a}{2} = sqrt{ frac{1+cos(arccosfrac{3}{4})}{2}} =sqrt{frac{7}{8}}$
то есть нужно решить систему уравнения 
$x^2=64+y^2-16y*sqrt{frac{7}{8}}\ (8-x)^2=144+y^2-24ysqrt{frac{7}{8}}\ \ (8-x)^2-x^2 = 80-8ysqrt{frac{7}{8}}\ (8-2x)8=80-8ysqrt{frac{7}{8}}\ 8-2x=10-ysqrt{frac{7}{8}}\ -2x=2-ysqrt{frac{7}{8}}\ x=frac{2-ysqrt{frac{7}{8}}}{-2}$
подставим это соотношение в любое из уравнений 
$(frac{2-ysqrt{frac{7}{8}}}{-2}) ^2=64+y^2-16y* sqrt{frac{7}{8}}\ 4-4y sqrt{frac{7}{8}}+frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*sqrt{frac{7}{8}})$
$4-4y sqrt{frac{7}{8}}+frac{7y^2}{8}=4(64+y^2-16y*sqrt{frac{7}{8}})\ 4-4ysqrt{frac{7}{8}}+frac{7y^2}{8}=256+4y^2-64ysqrt{frac{7}{8}}\ 252+4y^2-frac{7y^2}{8}-60ysqrt{frac{7}{8}} = 0\ frac{25y^2}{8}-60ysqrt{frac{7}{8}} +252=0\ D=(3600*7/8)-4*25/8*252=0\ y=frac{60* sqrt{frac{7}{8}}}{frac{25}{4}}=frac{12sqrt{14}}{5}$