Question

Помогите решить дифференциальное уравнение
а) y'-y*ctg(x)=1/(sin(x))
б) y''+8y'+7y=0

Answer 1

$\displaystyle y'-y*ctg(x)=\frac{1}{sin(x)}\\\displaystyle y'-y*ctg(x)=0\\\frac{dy}{dx}=y*ctg(x)|*\frac{dx}{y}\\\frac{dy}{y}=ctg(x)dx\\\int\frac{dy}{y}=\int ctg(x)dx\\ln|y|=ln|sin(x)|+C(x)\\y=C(x)*sin(x)\\y'=C'(x)*sin(x)+C(x)*cos(x)\\C'(x)*sin(x)+C(x)*cos(x)-C(x)*cos(x)=\frac{1}{sin(x)}\\C'(x)=\frac{1}{sin^2(x)}\\C(x)=\int\frac{dx}{sin^2(x)}=-ctg(x)+C\\y=C*sin(x)-cos(x)$

$y''+8y'+7y=0\\k^2+8k+7=0\\k_1=-7;k_2=-1\\y=C_1e^{-7x}+C_2e^{-x}$