Предмет: Алгебра, автор: nkchdnv

Срочноооо даю много баллов, надо найти наибольшее и наименьшее значение выражения
2sin^2x-3cos^2x

david777ge: 2sin²x - 3cos²x = 2(1 -cos²x) - 3cos²x = 2 - 5cos²x ; [ 0 ≤ cos²x ≤ 1 ] очевидно,при cos²x=1 данное выражение принимает свое минимальное значение ( больше берешь мало останется ) : min( 2 - 5cos²x ) = - 3 ; max(2- 5cos²x) = 2 если cos²x=0 .
ИЛИ 2sin²x - 3cos²x =2sin²x -3(1- sin²x) = (- 3) + 5sin²x ; [ 0 ≤ sin²x ≤ 1 ] наименьшее значение = (-3) принимает при sin²x =0 , наибольшее = 2 , при sin²x=1

david777ge: ИЛИ 2sin²x - 3cos²x = 2*( 1 -cos2x)/2 - 3*(1+cos2x)/2 = - 0,5(1 +5cos2x) ; [ -1 ≤ cos2x ≤ 1 ] наименьшее значение = (-3) принимает при cos2x = 1 , наибольшее = 2 , при cos2x = - 1 .

david777ge: -1 ≤ cos2x ≤ 1 ; -5 ≤ 5cos2x ≤ 5; - 4 ≤ 1 + 5cos2x ≤ 6 ; - 3 ≤ - 0,5(1+ 5cos2x ) ≤ 2

david777ge: Можно и с применением тяжелой артиллерии B(x) =2sin²x- 3cos²x . B '(x) =2*2sinx*(sinx )' -3*2cosx*(cosx) ' =2*2sinx*cosx +3*2sinxcosx = 10sinx*cosx = 0 sinx =0 или cosx =0 ( найти критические точки ,экстреммы и т.д.) sinx=0 (cosx =±1) значение выражения = (-3) cosx =0 (sinx =±1) значение выражения =2. B '(x)= 5sin2x

Ответы

Автор ответа: xERISx

$2\sin^2x-3\cos^2x=2\sin^2x-3\cdot\big(1-\sin^2x\big)=\\\\=2\sin^2x-3+3\sin^2x\boldsymbol{=5\sin^2x-3}\\\\\\-1\leq \sin x\leq 1\\\\0\leq \big|\sin x\big|\leq 1~~~~~\big|(\ )^2\\\\0\leq \sin^2 x\leq 1~~~~~\big|\cdot 5\\\\0\leq 5\sin^2 x\leq 5~~~~~\big|-3\\\\-3\leq 5\sin^2 x-3\leq 2\\\\\boxed{\boldsymbol{-3\leq 2\sin^2x-3\cos^2x\leq 2}}$