Question

Найдите $sin^{2}\frac{x}{2}$ , если $ctg(\frac{\pi}{2}+x)=2\sqrt{6} , x\in(\frac{\pi }{2};\pi ).$

Answer 1

По формуле приведения получим:

$\mathrm{ctg}\left(\dfrac{\pi}{2}+x\right)=-\mathrm{tg}x=2\sqrt{6}$

$\mathrm{tg}x=-2\sqrt{6}$

Выразим косинус через тангенс:

$1+\mathrm{tg}^2x=\dfrac{1}{\cos^2x}$

$\cos^2x=\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2x}$

Так как косинус во второй четверти отрицателен, то:

$\cos x=-\sqrt{\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2x} }$

Выразим искомое выражение:

$\sin^2\dfrac{x}{2} =\dfrac{1-\cos x}{2} =\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+\mathrm{tg}^2x} }}{2}$

$\sin^2\dfrac{x}{2} =\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+(-2\sqrt{6})^2} }}{2}=\dfrac{1+\sqrt{\dfrac{1}{1+24} }}{2}=\dfrac{1+\dfrac{1}{5}}{2}=\dfrac{3}{5}$