Question

Решите двойное неравенство 6x - 9 < x² ≤ 4x - 3

Answer 1

Решение:

Данное двойное неравенство равносильно системе двух квадратных неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{ 6x-9 < x^2} \atop { x^2 \leq 4x-3}} \right. ; \;\;\; \left \{ {{ x^2 - 6x + 9 > 0} \atop { x^2 - 4x+ 3 \leq 0}} \right.$

Первое неравенство $x^2 - 6x + 9 > 0$.

Заметим, что в левой части скрывается квадрат разности (формула $(a-b)^2 = a^2 - 2ab+b^2$): $(x-3)^2 = x^2 - 6x + 9$.

Неравенство принимает следующий вид: $(x-3)^2 > 0$.

Так как квадрат числа всегда неотрицательный, то нам не подходит всего лишь один случай: $(x-3)^2 = 0$ и $x=3$.

Значит, первой неравенство эквивалентно тому, что $x \ne 3$.

Второе неравенство $x^2 - 4x + 3 \leq 0$.

Вспомогательной уравнение $x^2-4x+3=0$ имеет по теореме Виета (утверждающей, что $x_1x_2=3$ и $x_1+x_2=4$) корни $x_1=1$ и $x_2=3$.

Из этого следует разложение левой части на множители: $(x-1)(x-3) \leq 0$.

Метод интервалов подсказывает решение $x \in [ 1; 3 ]$.

     + + +                 - - -                    + + +    

_________$[ \; 1 \; ]$_________$[ \; 3 \; ]$_________

                     \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Значит, второе неравенство равносильно тому, что $1 \leq x \leq 3$.

Имеем значительно более простую систему неравенств:

$\displaystyle \left \{ {{ x\neq 3} \atop {1 \leq x \leq 3}} \right.$

Вполне понятно, что ее решением является $1 \leq x < 3$ (как пересечения двух промежутков).

Или же ${ x \in [1 ; 3)}$.

Задача решена!

Ответ:

$\Large \boxed { \bf x \in \Big [ \; 1 ; \; 3 \; \Big )}$