Question

100 БАЛОВ!!

Развить ряд по степеням х

Answer 1

$1)\; \; f(x)=e^{-x^3}\\\\e^{t}=1+\dfrac{t}{1!}+\dfrac{t^2}{2!}+...+\dfrac{t^{n}}{n!}+...\, =\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, \dfrac{t^{n}}{n!}\; ,\; \; x\in R\\\\t=-x^3:\; \; e^{-x^3}=1+\dfrac{-x^3}{1!}+\dfrac{(-x^3)^2}{2!}+...+\dfrac{(-x^3)^{n}}{n!}+...=\\\\=1-\dfrac{x^3}{1!}+\dfrac{x^6}{2!}-\dfrac{x^{9}}{3!}+...+(-1)^{n}\cdot \dfrac{x^{3n}}{n!}+...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, \dfrac{(-1)^{n}\cdot x^{3n}}{n!}\; ,\; \; x\in R$

$2)\; \; f(x)=ch\, 2x\\\\cht=1+\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^4}{4!}+...+\dfrac{t^{2n}}{(2n)!}+...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\dfrac{t^{2n}}{(2n)!}\; ,\; \; x\in R\\\\t=2x:\; \; ch\, x=1+\dfrac{(2x)^2}{2!}+\dfrac{(2x)^4}{4!}+...+\dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}+...=\\\\=1+\dfrac{4x^2}{2!}+\dfrac{16x^4}{4!}+...+\dfrac{2^{2n}x^{2n}}{(2n)!}+...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, \dfrac{(2x)^{2n}}{(2n)!}\; ,\; \; x\in R$

$3)\; \; f(x)=\dfrac{2x+1}{x+2}=\dfrac{2(x+2)-4+1}{x+2}=2+\dfrac{-3}{x+2}=2-3\cdot \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{\frac{x}{2}+1}\\\\f(x)=2-\dfrac{3}{2}\cdot \dfrac{1}{1+\frac{x}{2}}\\\\\\\dfrac{1}{1+t}=1-t+t^2-t^3+...+(-1)^{n}\, t^{n}+...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\cdot t^{n}\; ,\; \; t\in (-1;1)\\\\\\\dfrac{1}{1+\frac{x}{2}}=1-\dfrac{x}{2}+\Big(\dfrac{x}{2}\Big)^2-\Big(\dfrac{x}{2}\Big)^3+...+(-1)^{n}\cdot \Big(\dfrac{x}{2} \Big)^{n}+...=$

$=1-\dfrac{x}{2}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^3}{8}+...+(-1)^{n}\cdot x^{n}+...=\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, (-1)^{n}\cdot \dfrac{x^{n}}{2^{n}}\; ,\\\\\\-1<\dfrac{x}{2}<1\; \; \; \Rightarrow \quad -2<x<2\; ,\; \; x\in (-2;2\, )\\\\\\\dfrac{2x+1}{x+2}=1-\dfrac{3}{2}\cdot \sum \limits _{n=0}^{\infty }\, (-1)^{n}\cdot \dfrac{x^{n}}{2^{n}}=1+\sum \limits _{n=0}^{\infty }\, (-1)^{n+1}\cdot \dfrac{3\cdot x^{n}}{2^{n+1}}\; ,\; \; x\in (-2;2\, )$