Question

Помогите, пожалуйста.
1) Доказать методом математической индукции, что при всех натуральных n:
1+3+3^2+3^3+...+3^n=(3^(n+1)-1)/2
2) Доказать методом математической индукции, что для всех натуральных чисел справедливо утверждение:
(3^(4*n+3) - 117) кратно 10

Answer 1

1.

База индукции:

$n = 1\\1 + 3 = 4 = \frac{3^{1 + 1} - 1}{2}$

Шаг индукции:

Пусть справедливо для $n = k$. Докажем справедливость $n = k + 1$:

$1 + 3 + 3^2 + \ldots + 3^k + 3^{k+1} = \frac{3^{k + 1} - 1}{2} + 3^{k+1} = \frac{3\cdot3^{k+1} - 1}{2} = \frac{3^{k+2} - 1}{2}$.

2.

База индукции:

$n=1\\3^{4 + 3} - 117 = 2070 \ \vdots \ 10$

Шаг индукции:

Пусть справедливо для $n = k$. Докажем справедливость $n = k + 1$:

$3^{4k + 7} - 117 = 81 \cdot 3^{4k + 3} - 117 = 80 \cdot 3^{4k + 3} + (3^{4k+3} - 117)$.

Левое слагаемое делится на 10, т.к. 80 делится на 10. Правое же является выражением для  $n = k$ и также делится на 10. Т.к. оба слагаемых делятся на 10, то и всё выражение делится на 10.