Question

Помогите разобраться с логарифмическими уравнениями. Номер 822, 825 и 826

Answer 1

№822

$log_{x+1}(x-\frac{1}{2}) = log_{x-\frac{1}{2}}(x+1)\\log_{x+1}(x-\frac{1}{2}) = \frac{1}{log_{x+1}(x-\frac{1}{2})}\\log_{x+1}^2(x-\frac{1}{2}) = 1\\log_{x+1}(x-\frac{1}{2}) = 1 => x+1 = x - \frac{1}{2} => x \in \varnothing\\ log_{x+1}(x-\frac{1}{2}) = -1 => (x+1)^{-1} = x-\frac{1}{2} => \frac{1}{x+1} = x-\frac{1}{2} => (x+1)(x-\frac{1}{2} )=1 => x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0\\ D = \frac{1}{4} + 6 = \frac{25}{4} = (\frac{5}{2})^2$

$x_1_2=\frac{-\frac{1}{2}\pm\frac{5}{2}}{2} = 1, -\frac{3}{2}$

Отрицательный корень не подходит по ОДЗ. Остается только x = 1

Ответ: x = 1

№825

$(1.25)^{1-log_2^2x} = (0.64)^{2log_22x}\\(\frac{5}{4})^{1-log_2^2x} = ((\frac{5}{4})^{-2})^{2log_22x}\\(\frac{5}{4})^{1-log_2^2x} = (\frac{5}{4})^{-4log_22x}\\1-log^2_2x = - 4log_2(2x)\\1-log^2_2x = -4(log_22 + log_2x)\\1-log^2_2x = -4 - 4log_2x\\log^2_2x-4log_2x-5=0\\\frac{D}{4} = 4 + 5 = 3^2\\ log_2x = 2 \pm3 = -1, 5\\1) log_2x = -1 => x = \frac{1}{2}\\ 2) log_2x = 5 => x = 2^5 = 32$

По ОДЗ все походит, можно писать ответ

Ответ: $x = \frac{1}{2}\\x = 32$

№826

$x^{lgx} = 1000x^2\\lg(x^{lgx}) = lg(1000x^2)\\lgx*lgx=lg1000+lgx^2\\lg^2x=3+2lgx\\lg^2x-2lgx-3=0\\lg^2x-2lgx+1-4=0\\(lgx-1)^2-2^2=0\\(lgx-1-2)(lgx-1+2)=0\\(lgx-3)(lgx+1)=0\\lgx = 3 => x = 1000\\lgx = -1 => x = \frac{1}{10}$

По ОДЗ все ок, можно писать ответ.

Ответ: $x = \frac{1}{10}\\ x = 1000$