Question

Решите уравнения 2*2^(2x)-17*2^x+8=0;

5*2^(2x)-7*10^x+2*5^(2x)=0
Тема показательные уравнения

Answer 1

$2cdot 2^{2x}-17cdot 2^x+8=0~~~~~Big|~~2^x=y>0\\2y^2-17y+8=0\D=17^2-4cdot 2cdot 8=289-64=225=15^2\\y_1=dfrac{17+15}{2cdot 2}=8=2^3~~~Rightarrow~~2^x=2^3;~~boldsymbol{x_1=3}\\y_2=dfrac{17-15}{2cdot 2}=dfrac 12=2^{-1}~~~Rightarrow~~2^x=2^{-1};~~boldsymbol{x_2=-1}\\boxed{boldsymbol{x_1=3;~~~x_2=-1}}$

============================================

$5cdot 2^{2x}-7cdot 10^x+2cdot 5^{2x}=0\5cdot 2^{2x}-7cdot 2^xcdot 5^x+2cdot 5^{2x}=0~~~~~big|~~:(5^{2x})neq 0\\5cdot dfrac{2^{2x}}{5^{2x}}-7cdot dfrac{2^xcdot 5^x}{5^{2x}}+2cdot dfrac{5^{2x}}{5^{2x}}=0\\5cdot bigg(dfrac 25bigg)^{2x}-7cdot bigg(dfrac 25bigg)^x+2=0~~~~~bigg|~~bigg(dfrac 25bigg)^x=z>0$

$5z^2-7z+2=0\D=7^2-4cdot 5cdot 2=49-40=9=3^2\\z_1=dfrac{7+3}{2cdot 5}=1=bigg(dfrac 25bigg)^0~~~Rightarrow~~~bigg(dfrac 25bigg)^x=bigg(dfrac 25bigg)^0;~~boldsymbol{x_1=0}\\z_2=dfrac{7-3}{2cdot 5}=dfrac 25~~~Rightarrow~~~bigg(dfrac 25bigg)^x=bigg(dfrac 25bigg)^1;~~boldsymbol{x_2=1}\\boxed{boldsymbol{x_1=0;~~~x_2=1}}$