Question

(y²-2xy)dx+x²dy=0 диф. уравнение

Answer 1

$(y^2-2xy)dx+x^2dy=0$

Разделим на $dx$:

$y^2-2xy+x^2\cdot\dfrac{dy}{dx}= 0$

Разделим на $x^2$:

$\dfrac{y^2}{x^2} -2\cdot\dfrac{y}{x} +\dfrac{dy}{dx}= 0$

$\left(\dfrac{y}{x}\right)^2 -2\cdot\dfrac{y}{x} +y'= 0$

Замена:

$\dfrac{y}{x} =t$

$\Rightarrow y=tx$

$\Rightarrow y'=t'x+tx'=t'x+t$

Получим уравнение:

$t^2 -2t +t'x+t= 0$

$t^2 -t +t'x= 0$

$t'x= t-t^2$

$x\cdot\dfrac{dt}{dx} = t-t^2$

$\dfrac{dt}{ t-t^2} =\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

Чтобы найти интеграл, стоящий в левой части, подынтегральную дробь представим в виде суммы составляющих:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{A}{t} +\dfrac{B}{1-t} =\dfrac{A(1-t)+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{A-At+Bt}{t(1-t)} =\dfrac{(B-A)T+A}{t(1-t)}$

Дроби равны, знаменатели равны. Значит, равны и числители:

$1=(B-A)t+A$

Условие равенства:

$\begin{cases} A=1 \\ B-A=0 \end{cases}$

$\begin{cases} A=1 \\ B=A=1 \end{cases}$

Значит, дробь раскладывается на составляющие следующим образом:

$\dfrac{1}{ t-t^2}=\dfrac{1}{t} +\dfrac{1}{1-t}$

Возвращаемся к интегрированию:

$\int\dfrac{dt}{ t-t^2} =\int\dfrac{dx}{x}$

$\int\dfrac{dt}{ t}+\int\dfrac{dt}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Для второй дроби выполним подведение под знак дифференциала:

$\int\dfrac{dt}{ t}-\int\dfrac{d(1-t)}{1-t} =\int\dfrac{dx}{x}$

Интегрируем:

$\ln|t|-\ln|1-t|=\ln|x|-\ln|C|$

$\ln\left|\dfrac{t}{1-t}\right|=\ln\left|\dfrac{x}{C}\right|$

$\dfrac{t}{1-t}=\dfrac{x}{C}$

Обратная замена:

$\dfrac{\frac{y}{x} }{1-\frac{y}{x} }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{y }{x-y }=\dfrac{x}{C}$

$\dfrac{x-y }{y }=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }-1=\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=1+\dfrac{C}{x}$

$\dfrac{x }{y }=\dfrac{x+C}{x}$

$\boxed{y=\dfrac{x^2}{x+C}}$