Question

1) В треугольнике АВС АВ=ВС, точка О – центр вписанной окружности,
точки Д и Е – точки касания вписанной окружности со сторонами АС и
АВ соответственно, угол АВС равен 48 градусов. Найдите угол ДОЕ.
2) Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон АВ,
ВС и АС в точках К,М и Е соответственно, АК=ВМ=СЕ. Докажите, что
треугольник АВС – равносторонний.

Answer 1

Углы при основании равнобедренного треугольника:

∠BAC = ∠BCA = (180° - ∠ABC)/2 = (180° - 48°)/2 = 66°

Рассмотрим четырехугольник AEOD, известно что касательная к окружности перпендикулярная к радиусу, проведенному в точку касания, т.е. ∠AEO = ∠ADO = 90°. Сумма углов четырехугольника равна 360°

∠DOE = 360° - 66° - 90° - 90° = 114°

Ответ: 114°