Question

Даю 100 балов
Дано трикутник АВС, А(−3; −2), В(1; 4), С(2; −1).
Знайти у градусах величину кута А.

Answer 1

вектор_AB = ( 1+3; 4+2) = ( 4; 6),

вектор_AC = ( 2+3;  -1+2) = ( 5; 1),

Найдем скалярное произведение этих векторов, разными способами.

вектор_AB*вектор_AC = (4;6)*(5;1) = 4*5+6*1 = 20+6 = 26,

вектор_AB*вектор_AC = |AB|*|AC|*cos(∠A) =

$= \sqrt{4^2+6^2}\cdot \sqrt{5^2+1^2}\cdot\cos{\angle A} =$

$= \sqrt{16+36}\cdot \sqrt{25+1}\cdot\cos{\angle A} =$

$= \sqrt{52}\cdot\sqrt{26}\cdot\cos{\angle A} = 26$

$\cos{\angle A} = \frac{26}{\sqrt{52}\cdot\sqrt{26}}$

$\cos{\angle A} = \frac{\sqrt{26}}{\sqrt{52}} =$

$= \sqrt{\frac{26}{52}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\angle A = \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = 45^\circ$.

Ответ. 45°.