Question

Найдите остаток от деления суммы 12 в степени 34+34 в степени 56+567 в степени 77+789 в степени 99 на 5.

Answer 1

$(12^{34}+34^{ 56}+567^{77}+789^{99}):5$

Воспользуемся сравнением по модулю 5. Каждое число можно заменить любым другим, дающим при делении на 5 такой же остаток.

Для удобства, сначала поработаем с каждым из чисел отдельно:

$12^{34}=(2\cdot5+2)^{34}\equiv2^{34}=4^{17}=(5-1)^{17}\equiv(-1)^{17}=-1\pmod{5}$

$34^{56}=(6\cdot5+4)^{56}\equiv4^{56}=(5-1)^{56}\equiv(-1)^{56}=1\pmod{5}$

$567^{77}=(56\cdot2\cdot5+5+2)^{77}\equiv2^{77}=2\cdot2^{76}=2\cdot4^{38}=$

$=2\cdot(5-1)^{38}\equiv2\cdot(-1)^{38}=2\cdot1=2\pmod{5}$

$789^{99}=(78\cdot2\cdot5+5+4)^{99}\equiv4^{99}=(5-1)^{99}\equiv(-1)^{99}=-1\pmod{5}$

Таким образом:

$12^{34}+34^{ 56}+567^{77}+789^{99}\equiv-1+1+2-1=1\pmod{5}$

Ответ: 1