Question

4sinx-3cosx=0 помогите решить 15 баллов!

Answer 1

1 cпособ:

$4\sin x-3\cos x=0;\\\\5(\frac{4}{5}\sin x-\frac{3}{5}\cos x)=0.$

Введя обозначение $\frac{3}{5}=\sin \phi \Rightarrow \frac{4}{5}=\cos \phi$, приходим к равносильному уравнению

$\cos \phi\sin x-\sin\phi\cos x=0\Leftrightarrow \sin(x-\phi)=0.\\\\x-\phi=\pi n. n\in \mathbb Z\Leftrightarrow x=\phi + \pi n, n\in \mathbb Z.$

Поскольку $\sin \phi = \frac{3}{5}$, то $\phi = \arcsin \frac{3}{5}.$

Итого $x=\arcsin \frac{3}{5}+\pi n, n\in \mathbb Z$.

2 способ:

Обе части разделим на $\cos x$ (имеем право, поскольку при $\cos x=0$ уравнение все равно не будет иметь решений). Приходим к равносильному уравнению

$4tg x=3\Rightarrow tg x=\frac{3}{4}$

Отсюда $x=arctg\frac{3}{4}+\pi k, k\in \mathbb Z$

ОТВЕТ: $\arcsin \frac{3}{5}+\pi n, n\in \mathbb Z$ ($arctg\frac{3}{4}+\pi k, k\in \mathbb Z$).