Question

 В прямоугольном треугольнике длины медиан,проведённых из вершин острых углов, равны √156 и √89. Найти длину гипотенузы

Answer 1

Треугольник АВС , угол АСВ=90
АМ=sqrt(156) -медиана, СМ=МВ=х
ВК =sqrt(89)- медиана, АК=КС=у
Из треугольника АСМ: $4y^2+x^2=156$
Из треуг.ВСК:$4x^2+y^2=89$
Это система
$left { {{y^2=89-4x^2} atop {4x^2+y^2=156}} right.\\4(89-4x^2)+x^2=156\\356-15x^2=156\\x^2=frac{200}{15}=frac{40}{3}\\y^2=89-4cdot frac{40}{3}=frac{89cdot 3-160}{3}=frac{107}{3}$
AC=2y,BC=2x
Из треуг.АВС:
$AB^2=AC^2+BC^2=4y^2+4x^2=4(y^2+x^2)=\\=4(frac{107}{3}+frac{40}{3})=frac{4cdot 147}{3}=196\\AB=sqrt{196}=14$