Question

Довести, что $11^{n+2} + 12^{2n+1}$ делится на 133 без остатка nєN

Answer 1

Докажем методом математической индукции,  проверим  при  n=1 верно  , докажем теперь при   n+1   
$11^{n+2}+12^{2n+1}=A\ 11^{n+1+2}+12^{2(n+1)+1}=11^{n+3}+12^{2n+3}\\ 11^{n+2}*11+12^{2n+1}*144=11*11^{n+2}+(133+11)*12^{2n+1}=\11(11^{n+2}+12^{2n+1})+133*12^{2n+1}=11A+133*12^{2n+1}$
то есть А делится на 133, так как мы условились что первоначальное  выражение делиться, а у второго слагаемого множитель 133, то есть он тоже делится на 133